解题思路:构造g(x)=
f(x)
x
,可得g′(x)=
x
f
′
(x)−f(x)
x
2
,①当x>0时有
x f′(x)−f(x)
x
2
>0
,可得函数g(x)在x>0时单调性,可得
f(x)
x
>0
=
f(1)
1
的解集,利用
f(x)
x
>0
⇔xf(x)>0,即可得出不等式xf(x)>0的解集;
②由于f(x)是偶函数,当x<0时,xf(x)>0⇔-xf(-x)<0,解得即可.
令g(x)=
f(x)
x,则g′(x)=
xf′(x)−f(x)
x2,①当x>0时有
x f′(x)−f(x)
x2>0,∴函数g(x)在x>0时单调递增,∵f(1)=0,∴
f(x)
x>0=
f(1)
1的解集为{x|x>1},又
f(x)
x>0⇔xf(x)>0,∴不等式xf(x)>0的解集为{x|x>1};
②由于f(x)是偶函数,∴当x<0时,xf(x)>0⇔-xf(-x)<0,解得0<-x<1,即-1<x<0.
综上可知:不等式xf(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
故选B.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.
考点点评: 通过构造函数g(x)=f(x)x,利用导数研究其单调性及利用偶函数的性质是解题的关键.