已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1)=0,当x>0时有x f′(x)−f(x)x2>0,则不等式xf(x

1个回答

  • 解题思路:构造g(x)=

    f(x)

    x

    ,可得g′(x)=

    x

    f

    (x)−f(x)

    x

    2

    ,①当x>0时有

    x f′(x)−f(x)

    x

    2

    >0

    ,可得函数g(x)在x>0时单调性,可得

    f(x)

    x

    >0

    =

    f(1)

    1

    的解集,利用

    f(x)

    x

    >0

    ⇔xf(x)>0,即可得出不等式xf(x)>0的解集;

    ②由于f(x)是偶函数,当x<0时,xf(x)>0⇔-xf(-x)<0,解得即可.

    令g(x)=

    f(x)

    x,则g′(x)=

    xf′(x)−f(x)

    x2,①当x>0时有

    x f′(x)−f(x)

    x2>0,∴函数g(x)在x>0时单调递增,∵f(1)=0,∴

    f(x)

    x>0=

    f(1)

    1的解集为{x|x>1},又

    f(x)

    x>0⇔xf(x)>0,∴不等式xf(x)>0的解集为{x|x>1};

    ②由于f(x)是偶函数,∴当x<0时,xf(x)>0⇔-xf(-x)<0,解得0<-x<1,即-1<x<0.

    综上可知:不等式xf(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).

    故选B.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.

    考点点评: 通过构造函数g(x)=f(x)x,利用导数研究其单调性及利用偶函数的性质是解题的关键.