解题思路：（1）由题意知，
a
n
=2n，
b
n
=
2q
n-1
，由S3＜a1003+5b2-2010，得b1+b2+b3＜a1003+5b2-2010，由此能求出q．
（2）假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+…+bm+p-1，因为
b
n
=
2
n
，所以bk＞bm+p-1，从而得到k≥m+p，由此能推导出这样的项bk不存在．
（3）由b1=a1，得b2=b1q=a1q=as=ar+（s-r）d，所以d=
a
r
(q-1)
s-r]．由
b
3
=
b
1
q
2
=
a
1
q
2
=
a
t
=
a
r
+(t-r)d
，知
a
r
(q+1)(q-1)=
a
r
(q-1)•
t-r
s-r
．由此能够证明数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．
（1）由题意知，an=2n，bn=2qn-1，
所以由S3＜a1003+5b2-2010，
得b1+b2+b3＜a1003+5b2-2010，
∴b1-4b2+b3＜2006-2010，
∴q2-4q+3＜0，
解得1＜q＜3，又q为整数，所以q=2．
（2）假设数列{bn}中存在一项bk，
满足bk=bm+bm+1+…+bm+p-1，
因为bn=2n，
∴bk＞bm+p-1，∴2k＞2m+p-1，∴k＞m+p-1，∴k≥m+p，（*）
又∵bk=2k=bm+bm+1+…+bm+p-1
=2m+2m+1+…+2m+p-1
=
2m(2p-1)
2-1
=2m+p-2m＜2m+p，
所以k＜m+P，此与（*）式矛盾．
所以，这样的项bk不存在．
（3）由b1=a1，得b2=b1q=a1q=as=ar+（s-r）d，
则d=
ar(q-1)
s-r．
又∵b3 =b1q2=a1q2=at=ar+(t-r)d，
∴arq2-ar=(t-r)•
ar(q-1)
S-r，
从而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•
t-r
s-r．
因为as≠ar，b1≠b2，所以q≠1，又ar≠0，故q=[t-r/s-r-1．
又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数，所以q是正整数，且q≥2．
对于数列{bn}中任一项bi（这里只要讨论i＞3的情形），有
bi=a1qi-1=a1+a1(qi-1-1)
=a1+a1(q-1)(1+q+q2)
=ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)
=ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q2+…+qi-2）+1是正整数，
所以bi一定是数列{an}中的项．
故数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．
点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．
考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．
1年前
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