解题思路：先设g（x）=
1+
2
2
x
−1
进行化简，求出函数的定义域，再求出g（-x）与g（x）的关系，判断出g（x）的奇偶性，再由“两个奇函数相乘得奇函数”判断f（x）的奇偶性．
由题意设g（x）=1+
2
2x−1=
2x+1
2x−1，且定义域是{x|x≠0}，
∵g（-x）=
2−x+1
2−x−1=
1+2x
1−2x=-g（x），∴g（x）=1+
2
2x−1是奇函数，
又函数F（x）=（1+
2
2x−1）•f（x）是偶函数，且f（x）不恒等于0，
∴f（x）是奇函数，
故选A．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查了复合函数的奇偶性的判断方法，即分成几个函数并分别判断它们的奇偶性，利用奇函数的个数是奇数或偶数进行判断．