椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是______.

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  • 解题思路:根据A是直角顶点推断直角边斜率是1和-1.设A是(-2,0)则可得一直角边方程与椭圆方程联立消去y求得交点的横坐标,进而根据直线方程求得横坐标,进而可求得一直角边的长,最后根据面积公式可得三角形的面积.

    A是直角顶点

    所以直角边斜率是1和-1

    设A是(-2,0)

    所以一条是y=x+2

    代入椭圆

    5x2+16x+12=0

    (5x+6)(x+2)=0

    x=-[6/5],x=-2(排除)

    x=-[6/5],y=x+2=[4/5]

    所以和椭圆交点是C(-[6/5],[4/5])

    则AC2=(-2+[6/5])2+(0-[4/5])2=[32/25]

    所以面积=[1/2]AC2=[16/25]

    故答案为[16/25]

    点评:

    本题考点: 椭圆的简单性质;椭圆的应用.

    考点点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.本题是研究椭圆和解三角形问题的综合题.对学生对问题的综合分析的能力要求很高.