定理:A可以进行LU分解的充要条件是A顺序主子式全不为0.
这个定理的证明涉及到高斯消去法.
我们知道高斯消去的三种消去
1对换:对换矩阵的两行2倍乘,将某行乘以常数3倍加:将矩阵某行乘以常数加到另一行.
对应三种初等矩阵.其中第二三个是下三角矩阵而第一个不是.
如果矩阵A可以经过不用对换的高斯变换化成既约矩阵(他是一个上三角矩阵),那么就能进行LU分解.什么情况高斯消去不用对换矩阵的两行呢?
打个比方A经过第一次高斯消去后使得除了a11外第一列其他元素都是0了,然后进行第二列的消去此时要满足新的a22不为零才能进行下去.否则就要将第二行和其他行对换.(此处看线性代数书上的Ax=b的解法那里)
因此没有对换的关键是"消去第i列"时的aii不为0.我们的定理要证明的就是"消去第i列时的aii不为零"这个条件与"A的顺序主子式不为零"等价
证明,用数学归纳法对矩阵的阶n进行归纳