解题思路:(I)用待定系数法即可求得圆C的标准方程;(Ⅱ)首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ).l与圆C相交于不同的两点,那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x 1 、x 2 之间关系式,进而求出k的值.若k的值满足Δ>0,则存在;若k的值不满足Δ>0,则不存在.
试题解析:(I)设圆C:(x-a) 2 +y 2 =R 2 (a>0),由题意知
解得a=1或a=
, 3分
又∵S=πR 2 <13,
∴a=1,
∴圆C的标准方程为:(x-1) 2 +y 2 =4. 6分
(Ⅱ)当斜率不存在时,直线l为:x=0不满足题意.
当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),
又∵l与圆C相交于不同的两点,
联立
消去y得:(1+k 2 )x 2 +(6k-2)x+6=0, 9分
∴Δ=(6k-2) 2 -24(1+k 2 )=36k 2 -6k-5>0,
解得
或
.
x 1 +x 2 =
,y 1 + y 2 =k(x 1 +x 2 )+6=
,
,
,
假设
∥
,则
,
∴
,
解得
,假设不成立.
∴不存在这样的直线l. 13分
(I)圆C的标准方程为:(x-1) 2+y 2=4;(Ⅱ)不存在这样的直线l.
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