Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，E为棱BB1上一点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）要证：AC⊥D₁E，只要证明AC⊥D₁E所在的平面BB₁D₁D即可，利用长方体的性质即可证明AC⊥平面BB₁D₁D，从而问题得证；

（Ⅱ）因为O为BD的中点，所以可取BB₁的中点E，连结OE后利用三角形中位线的性质得到OE∥DB₁，从而得到B₁D∥平面AEC，进一步得到

B

1

E

BE

的值．

（Ⅰ）证明：连接BD

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，

∴D₁D⊥平面ABCD，

又AC⊂平面ABCD

∴D₁D⊥AC

在长方形ABCD中，AB=BC

∴BD⊥AC

又BD∩D₁D=D

∴AC⊥平面BB₁D₁D，

而D₁E⊂平面BB₁D₁D

∴AC⊥D₁E

（Ⅱ）存在一点E，使得B₁D∥平面AEC，此时

B1E

BE＝1．

当

B1E

BE＝1时，E为B₁B中点

设BD交AC于点O，则O为BD中点

连接OE，在三角形BB₁D中，OE∥B₁D，B₁D⊄平面AEC，OE⊂平面AEC

∴B₁D∥平面AEC．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．