Question

已知数列{a n }满足a 1 = 1 11 ， a n+1 = a n 1-2 a n （n∈N * ）．

Answer 1

（1）证明：∵a _n≠0， a n+1 =

a n

1-2 a n

∴

1

a n+1 =

1-2 a n

a n =

1

a n -2

∴

1

a n+1 -

1

a n =-2，

1

a 1 =11

∴数列{

1

a n }是以11为首项，以-2为公差的等差数列等差数列．

（2）由（1）可得

1

a n =11+(n-1)×(-2) =-2n+13

∴ b n =|

1

a n | =|13-2n|=

13-2n，n≤6

2n-13，n＞6

设数列列{

1

a n }的前项和为T _n，则由等差数列的求和公式可得， T n =

11+13-2n

2 ×n =12n-n ²

若n≤6时，S _n=T _n=12n-n ²

若n＞7时，S _n=T ₆+[-（T _n-T ₆）]=2T ₆-T _n=n ²-12n+72

∴ S n =

12n- n 2 ，n≤6

n 2 -12n+72，n≥7