|A-λE| =
3-λ 1 1
1 3-λ 1
1 1 3-λ
= -(λ - 5)*(λ - 2)^2.
所以A的特征值为:5,2,2
解(A-5E)X = 0得基础解系:a1=(1,1,1)^T
解(A-2E)X = 0得基础解系:a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,0,-1)^T
将a1,a2,a3正交化得
b1=(1,1,1)^T
b2=(1,-1,0)^T
b3=(1/2,1/2,-1)^T
单位化得
c1 = (1/√3,1/√3,1/√3)^T
c2 = (1/√2,-1/√2,0)^T
c3 = (1/√6,1/√6,-2/√6)^T
得正交矩阵Q =
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
满足 Q^TAQ = diag(5,2,2)