Question

设函数f（x）=log2（4-x），g（x）=log2x．

Answer 1

（1）要使f（x）的解析式有意义，

自变量x须满足：4-x＞0，

即x＜4，

故f（x）的定义域为（-∞，4）；

（2）y=log₂x+log₂（4-x）中，x＞0且4-x＞0，

故f（x）+g（x）的定义域是（0，4）；

∵函数y=log₂x+log₂（4-x）=log₂[x（4-x）]

∵0＜x＜4，

∴0＜x（4-x）≤4

∴log₂[x（4-x）]≤2，

∴函数y=log₂x+log₂（4-x）的值域为（-∞，2]．

（3）若不等式（4-2g（x））•f（4-x）-k≤0对任意的x∈[1，4]恒成立，

则k≥（4-2g（x））•f（4-x）对任意的x∈[1，4]恒成立，

令y=（4-2g（x））•f（4-x）

=（4-2log₂x）•log₂[4-（4-x）]

=-2log²₂x+4log₂x，x∈[1，4]，

令t=log₂x，t∈[0，2]，

则y=-2t²+4t，t∈[0，2]，

由于y=-2t²+4t的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，

故当t=1时，函数取最大值2，

故k≥2，

故实数k的取值范围为[2，+∞）