如图,抛物线y=-x²+4与x轴交于A,B两点(点A在B的左侧),与y轴交于点C,P是第一象限内抛物线上的一点

1个回答

  • (1)∵y=x2-bx-5,

    ∴|OC|=5,

    ∵|OC|:|OA|=5:1,

    ∴|OA|=1,

    即A(-1,0),…(2分)

    把A(-1,0)代入y=x2-bx-5得

    (-1)2 b-5=0,

    解得b=4,

    抛物线的解析式为y=x2-4x-5;…(4分)

    (2)∵点C与点F关于对称轴对称,C(0,-5),设F(x0,-5),

    ∴x02-4x0-5=-5,

    解得x0=0(舍去),或x0=4,

    ∴F(4,-5),…(6分)

    ∴对称轴为x=2,

    设直线AF的解析式为y=kx b,

    把F(4,-5),A(-1,0),代入y=kx b,

    4k b=-5

    -k b=0

    ,

    解得

    k=-1

    b=-1

    ,

    所以,直线FA的解析式为y=-x-1;…(8分)

    (3)存在.…(9分)

    理由如下:①当∠FCP=90°时,点P与点E重合,

    ∵点E是直线y=-x-1与y轴的交点,

    ∴E(0,-1),

    ∴P(0,-1),…(10分)

    ②当CF是斜边时,过点C作CP⊥AF于点P(x1,-x1-1),

    ∵∠ECF=90°,E(0,-1),C(0,-5),F(4,-5),

    ∴CE=CF,

    ∴EP=PF,

    ∴CP=PF,

    ∴点P在抛物线的对称轴上,…(11分)

    ∴x1=2,

    把x1=2代入y=-x-1,得

    y=-3,

    ∴P(2,-3),

    综上所述,直线AF上存在点P(0,-1)或(2,-3)使△CFP是直角三角形.…