Question

（1×2分之1²＋2²）＋（2×3分之2²＋3²）＋（3×4分之3²＋

Answer 1

因为(1^2+2^2)/1*2=[(1+2)^2-2*1*2]/1*2=(1+2)^2/1*2-2=4+1/1*2-2=1/1*2+2

(2^2+3^2)/2*3=.=(2+3)^2/2*3-2=4+1/2*3-2=1/2*3+2

(3^2+4^2)/3*4=.=(3+4)^2/3*4-2=4+1/3*4-2=1/3*4+2

. .

(2000^2+2001^2)/2000*2001=.=(2000+2001)^2/2000*2001-2=1/2000*2001+2

所以(1^2+2^2)/1*2+(2^2+3^2)/2*3+(3^2+4^2)/3*4+.+(2000^2+2001^2)/2000*2001

=1/1*2+1/2*3+1/3*4+.+1/2000*2001+2*2000

=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.+(1/2000-1/2001)+2*2000

=1-1/2001+4000

=2000/2001+4000

（注：[(n^2+(n+1)^2]/n*(n+1)={[n+(n+1)]^2-2*n*(n+1)}/n*(n+1)

=(2n+1)^2/n*(n+1)-2=(4n^2+4n+1)/(n^2+n)-2

=4+1/n*(n+1)-2=1/n*(n+1)+2

=1/n-1/(n+1)+2 ）