Question

（1977•河北）将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

Answer 1

解题思路：利用基本初等函数的导数个数求出f（x）的各阶导数相同，利用幂级数的定义找到它的收敛区间．

∵f（x）=e^x，

∴f′（x）=f″（x）=fⁿ（x）=e^x

∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fⁿ（0）=1

函数在区间-r≤x≤r上有|fⁿ（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）

所以函数e^x可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，

因为r＞0是任意的，

所以，函数e^x在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，

特别的它的马克劳林级数是ex＝1+x+

x2

2!+

x3

3!+…+

xn

n!．

点评：

本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本题考查基本初等函数的个数、考查幂级数及收敛区间的定义．