Question

数列{an} 定义如下,a1=2,an+1=an^2-an+1,求证1/a1+1/a2+1/a3+……+1/a2008

Answer 1

符号说明：a[n]中n为下标.

由题意,a[n+1]-1=a[n]*(a[n]-1)

等式两边取倒数,得到1/(a[n+1]-1)=1/(a[n]-1)-1/a[n]

于是有1/a[n]=1/(a[n]-1)-1/(a[n+1]-1),对任意正整数n成立

于是

1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+……+1/a[2008]

=1/(a[1]-1)-1/(a[2009]-1)

=1-1/(a[2009]-1)

要证此式小于1,只需再证a[2009]>1

而a[n+1]-a[n]=a[n]^2-2*a[n]-1=(a[n]-1)^2≥0

因此对任意n>1有a[n]≥a[1]=2,所以a[2009]≥2>1成立,故命题得证.