Question

已知a,b为非零向量,问(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)的几何意义是什么

Answer 1

已知a,b为非零向量,问(a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)的几何意义是什么?

设OA=a,OB=b；以OA和OB为邻边作平行四边形OACB,那么a+b=OC,a-b=BA；

(a+b)²=(a+b)●(a+b)=∣a+b∣∣a+b∣cos0=∣a+b∣²=∣OC∣²；

(a-b)²=(a - b)●(a - b)=∣a-b∣∣a-b∣cos0=∣a-b∣² =∣BA∣²；

即原式左边是平行四边形OACB的两条对角线之长的平方和；

a²=a●a=∣a∣∣a∣cos0=∣a∣²=∣OA∣²

b²=b●b=∣b∣∣b∣cos0=∣b∣²=∣OB∣²

故原式的右边是该平行四边形相邻两边的平方和的两倍.

这就证明了平几中的一条定理：平行四边形两条对角线之长的平方和等于相邻两边之长的平方和的两倍.