Question

已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：

Answer 1

证明：

∵f(x)在[0,1]上有二阶导数

∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导

∴G(x)及G'(x)在[0,1]上也连续可导

又f(0)=f(1)=0

∴G(0)=0*f(0)=0,G(1)=f(1)=0

由罗尔定理知

在(0,1)内至少存在一点ξ1,使G'(ξ1)=0

又G'(x)=f(x)+xf'(x)

且f(0)=f(1)=0

∴G'(0)=f(0)+0*f'(0)=0

∴G'(0)=G'(ξ1)=0

∴由罗尔定理知

在(0,ξ1),即(0,1)内至少存在一点m,使G''(m)=0

证毕