Question

设f(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,f(1)=0,则存在a属于(0,1)使nf(a)+af'(a)=0(n>0)

Answer 1

构造函数

g(x)=(x^n)*f(x)

g(0)=0

g(1)=1*f(1)=0

所以在(0,1)上用中值定理,必定存在一点a,使得g'(a)=0

对g(x)求导：

g'(x)=n*[x^(n-1)]*f(x)+(x^n)*f'(x)

g'(a)=n*[a^(n-1)]*f(a)+(a^n)*f'(a)=0

由于a^(n-1)始终是大于0的,所以可以约去,得到

nf(a)+af'(a)=0