Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．

Answer 1

（1）证明：∵AE是切线，

∴∠EAB=∠C，

∵∠E是公共角，

∴△BAE ∽ △ACE，

∴EA：EC=EB：EA，

∴EA ²=EB•EC；

（2）连接BD，过点B作BH⊥AE于点H，

∵EA=AC，

∴∠E=∠C，

∵∠EAB=∠C，

∴∠EAB=∠E，

∴AB=EB，

∴AH=EH=

1

2 AE=

1

2 ×12=6，

∵cos∠EAB=

4

5 ，

∴cos∠E=

4

5 ，

∴在Rt△BEH中，BE=

EH

cos∠E =

15

2 ，

∴AB=

15

2 ，

∵AD是直径，

∴∠ABD=90°，

∵∠D=∠C，

∴cos∠D=

4

5 ，

∴sin∠D=

3

5 ，

∴AD=

AB

sin∠D =

25

2 ，

∴⊙O的半径为

25

4 ．