Question

已知函数f（x）=ax+loga（x-1）（其中a＞0且a≠1）．

Answer 1

解题思路：（1）由于a=[1/4]＜1，f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[1，2]上为减函数，从而可求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；

（2）对a分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，利用f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上的单调性得到关于a的关系式，解之即可．

解（1）∵a=[1/4]＜1，

∴f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[1，2]上为减函数．…（3分）

∴f（x）在x∈[1，2]上的x=2取最小值…（5分）

最小值为f（2）=(

1

4)2+log

1

4(2−1)=[1/16]…（7分）

（2）如果0＜a＜1，则f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上为减函数，

∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值为f（3）=a³+log_a2=4，又a³＜1，log_a2＜0，

∴f（3）=4无解．…（10分）

如果a＞1，则f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上为增函数，

∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值为f（2）=a²+log_a1=4，

∴a=2．

综合得a的值为2．…（14分）

点评：

本题考点： 对数函数的值域与最值；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

考点点评： 本题考查指数函数与对数函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与方程思想的综合运用，考查分析运算能力，属于中档题．