（1）①当0＜x≤1时， S=
EF•FG=
x 2（0＜x≤1）；
②当1＜x≤1.5时，S=
（MN+EF）FN=x﹣
（1＜x≤1.5）；
③当1.5＜x≤2时，S=
（MD+EC）CD=﹣x+
（1.5＜x≤2）
④当2＜x＜3时， S=
CE•CM=
x 2﹣3x+
（2＜x＜3）；
（2）存在，其最大值为1．
试题分析：（1）本题要分情况进行讨论：
①当EF≤CD，即当0＜x≤1时，重合部分是△EFG，两直角边的长均为x，由此可得出S，x的函数关系式．
②当CD＜EF≤
BC，即当1＜x≤1.5时，重合部分是个梯形，可用相似三角形求出梯形的上底的长，进而根据梯形的面积计算公式得出S，x的函数关系式．
③当EF＞
BC，但D在EG上或EG右侧，即当1.5＜x≤2时，此时重合部分是个梯形，如果设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N，可先在相似三角形GMN和GEF中求出MN的长，而后根据MD=MN﹣DN求出梯形的上底长，进而可按梯形的面积计算公式得出S，x的函数关系式．
④当EF在D点右侧时，即当2＜x＜3时，重合部分是个三角形，先用x表示出两直角边的长，然后按①的方法进行求解即可．
（2）按上面分析的四种情况，分别进行求解，得出不同自变量的取值范围内S的最大值，然后进行比较即可得出S的最大值．
（1）①当0＜x≤1时，FG=EF=x＜1=AB（如图1），
∴S=
EF•FG=
x 2（0＜x≤1）；
②当1＜x≤1.5时，FG=EF=x＞1=AB（如图2），
设EG与AD相交于点M，FG与AD相交于点N，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠GNM=∠GEF=45°，∠GNM=∠GFE=90°
∴∠MGN=45°
∴MN=GN=x﹣1
S=
（MN+EF）FN=x﹣
（1＜x≤1.5）；
③当1.5＜x≤2时，（如图3），设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N，
∵四边形ABCD是矩形
∴AN∥BF
同理MN=GN=x﹣1
∵∠FNM=∠GFE=∠DCF=90°
∴四边形DCFN是矩形
DN=CF=BF﹣BC=2x﹣3，
MD=MN﹣DN=（x﹣1）﹣（2x﹣3）=2﹣x
S=
（MD+EC）CD=﹣x+
（1.5＜x≤2）
④当2＜x＜3时，（如图4），
设EG与CD相交于点M
∵四边形ABCD是矩形，△EFG是等腰直角三角形，
∴∠MCE=90°，∠MEC=45°=∠CME
∴CM=CE=3﹣x
∴S=
CE•CM=
x 2﹣3x+
（2＜x＜3）；
（2）存在，其最大值为1．