已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADE

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  • 解题思路:(1)①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°,再根据正方形的性质可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠ACF+∠ACB=90°,从而得证;②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF,从而求出CF=BC-CD;

    (2)与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=BC+CD;

    (3)①与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=CD-BC;②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°,再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠FCD=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=[1/2]DF,再根据正方形的对角线相等求出OC=OA,从而得到△AOC是等腰三角形.

    (1)证明:①∵∠BAC=90°,AB=AC,

    ∴∠ABC=∠ACB=45°,

    ∵四边形ADEF是正方形,

    ∴AD=AF,∠DAF=90°,

    ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,

    ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°,

    ∴∠BAD=∠CAF,

    在△BAD和△CAF中,

    AB=AC

    ∠BAD=∠CAF

    AD=AF,

    ∴△BAD≌△CAF(SAS),

    ∴∠ACF=∠ABD=45°,

    ∴∠ACF+∠ACB=90°,

    ∴BD⊥CF;

    ②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF,

    ∵BD=BC-CD,

    ∴CF=BC-CD;

    (2)与(1)同理可得BD=CF,

    所以,CF=BC+CD;

    (3)①与(1)同理可得,BD=CF,

    所以,CF=CD-BC;

    ②∵∠BAC=90°,AB=AC,

    ∴∠ABC=∠ACB=45°,

    则∠ABD=180°-45°=135°,

    ∵四边形ADEF是正方形,

    ∴AD=AF,∠DAF=90°,

    ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,

    ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,

    ∴∠BAD=∠CAF,

    在△BAD和△CAF中,

    AB=AC

    ∠BAD=∠CAF

    AD=AF,

    ∴△BAD≌△CAF(SAS),

    ∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°,

    ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,

    则△FCD为直角三角形,

    ∵正方形ADEF中,O为DF中点,

    ∴OC=[1/2]DF,

    ∵在正方形ADEF中,OA=[1/2]AE,AE=DF,

    ∴OC=OA,

    ∴△AOC是等腰三角形.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.

    考点点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,等腰三角形的判定,以及同角的余角相等的性质,此类题目通常都是用同一种思路求解,在(1)中找出证明三角形全等的思路是解题的关键.