解题思路:(1)①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°,再根据正方形的性质可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠ACF+∠ACB=90°,从而得证;②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF,从而求出CF=BC-CD;
(2)与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=BC+CD;
(3)①与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=CD-BC;②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°,再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠FCD=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=[1/2]DF,再根据正方形的对角线相等求出OC=OA,从而得到△AOC是等腰三角形.
(1)证明:①∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
AB=AC
∠BAD=∠CAF
AD=AF,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=45°,
∴∠ACF+∠ACB=90°,
∴BD⊥CF;
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF,
∵BD=BC-CD,
∴CF=BC-CD;
(2)与(1)同理可得BD=CF,
所以,CF=BC+CD;
(3)①与(1)同理可得,BD=CF,
所以,CF=CD-BC;
②∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
则∠ABD=180°-45°=135°,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
AB=AC
∠BAD=∠CAF
AD=AF,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°,
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,
则△FCD为直角三角形,
∵正方形ADEF中,O为DF中点,
∴OC=[1/2]DF,
∵在正方形ADEF中,OA=[1/2]AE,AE=DF,
∴OC=OA,
∴△AOC是等腰三角形.
点评:
本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.
考点点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,等腰三角形的判定,以及同角的余角相等的性质,此类题目通常都是用同一种思路求解,在(1)中找出证明三角形全等的思路是解题的关键.