x0c2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x
x0c一、回 顾 圆心为A(a,b),半径长为 的圆的标准方程为什么 半径长为r的圆的标准方程为什么?圆心为 半径长为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
注意：这是一条关于x,y的二元二次方程,那么关 注意：这是一条关于 的二元二次方程,是否都表示圆 于x,y的二元二次方程是否都表示圆呢?的二元二次方程是否都表示
x0c以(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程为( x a) 2 + ( y b) 2 = r 2
将方程展开得x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0
可见,任何一个圆的方程都可以写成下面的形式 (1) x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
反过来,形如（1 ）的方程的曲线是不是圆?D 2 E 2 D 2 + E 2 4F 将（ ）的左边配方,得（x + ) + ( y + ) = 1 ( 2) 2 2 4 D E D 2 + E 2 4F 0 2 2 1 当D + E 4 F > 0时,方程(1)表示以(?,)为圆心,2 2 2 为半径的圆 D E 0 2 2 2 当D + E 4 F = 0时,方程(1)表示一个点(?,) 2 2 30 当D 2 + E 2 4 F < 0时,方程(1)不表示任何图形
1 1 因此,当D 2 + E 2 4 F > 0时,方程（ ）表示一个圆,方程（ ）叫做圆 的一般方程
x0c圆的一般方程的定义：圆的一般方程的定义：
问题:圆的一般方程有什么特征 问题 圆的一般方程有什么特征?圆的一般方程有什么特征 1）有两个变量x,y,它们的最高次数都为2； （1）有两个变量x,y,它们的最高次数都为2； 两个变量最高次数的系数相同,一般都是1 （2）两个变量最高次数的系数相同,一般都是1 ； ( 3) 若方程x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆,那么它的圆心坐标为多少?
半径呢?
D E ,） 2 2
r=
D2 + E 2 4F 2
x0c【问题】 问题】
圆的一般方程的特点,圆的一般方程的特点,与圆的标准方程的异 同． 圆的一般方程的特点 ：的系数相同,都不为0． （1）x 2 和 y 2的系数相同,都不为 ． （2）没有形如 xy的二次项． 的二次项． 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子,圆心和 ）圆的标准方程带有明显的几何的影子,半径一目了然． 半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构,）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构,更适合方程理论的运用． 更适合方程理论的运用．
x0c圆的一般方程：圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ 4F>0） （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＋ ＝ 的关系:
1、A ＝ C ≠ 0 、 2、B=0 、 3、 、
D2＋E2－4AF＞0 ＞
}
二元二次方程 表示圆的一般方程
x0c(1)若圆心在 轴上 则D,E,F满足什么条件 若圆心在x轴上 满足什么条件?若圆心在 轴上,则 满足什么条件 (2)若圆心在 轴上 则D,E,F满足什么条件 若圆心在y轴上 满足什么条件?若圆心在 轴上,则 满足什么条件 (3)若圆过原点 则D,E,F满足什么条件 若圆过原点,则 满足什么条件?若圆过原点 满足什么条件
x0cx + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
y C o o x y C x o x y C
D=0
E=0
F=0
x0c1.下列各图各表示什么图形?（1 x 2 + y 2 = 0 ） （2）x + y 2 x + 4 y 6 = 0
2 2
( x 1) + ( y + 2) = 11
2 2
（3）x 2 + y 2 2ax 2 3ay + 3a 2 = 0
( x + a) + y = a + b
2 2 2
2
2.求下列各圆的半径和圆心坐标：（ ）x + y 6 x = 0 1
2 2
( x 3) 2 + y 2 = 9
（2）x + y + 2by = 0
2 2
x + ( y + b) = b
2 2
2
2
（3）x + y 2ax 2 3 y + 3a = 0
2 2
( x a) 2 + ( y 3a) 2 = a 2
x0c[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程
配方 →
展开
标准方程
x0c若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 若已知三点求圆的方程 我们常采用圆的 例1 求过点 O (0,0),M (1,1),N ( 4,2)的圆的方程,并求出 这个圆的半径和圆心坐标.一般方程用待定系数法求解.一般方程用待定系数法求解
解 设所求圆的方程为
若已知条件涉及圆心和半径,若已知条件涉及圆心和半径 D = 8 其中D,E ,F 待定.F =0 我们一般采用圆的标准方程较简单.我们一般采用圆的标准方程较简单 由题意得 解得 E = 6 .D+E+F +2=0 ,
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
4 D + 2 E + F + 20 = 0
于是所求圆的方程为
x 2 + y 2 8 x + 6 y = 0.
2 2 Q D = 8,E = 6,F = ( 将这个方程配方,得 0,x 4) + ( y + 3) = 25.
D E 1 ∴ 所以所求圆的圆心坐标是 ( 4,5,),半径为 5