解题思路：（1）要使函数f（x）=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与3进行比较，先求出函数f（x）的导数，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．
（2）根据题意，由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）为偶函数，则原题即为∅（x）在（0，2]上有最小值2．对a值分三种情况讨论，分别求导，判断单调性，求出最小值，令其等于2，可以解得a的值，分析取舍可得答案．
（1）f′（x）=3x2+3a=3（x2+a）．
①当a≥0时，f′（x）≥0，所以f（x）在R上单调增，此时y=f（x）与y=3只有一个公共点；
②当时，f′(x)＝3(x+
−a)(x−
−a)．由f'（x）=0，得x1＝−
−a，x2＝
−a．
在x∈R上列表：
x （-∞，-
−a） -
−a （-
−a，
−a）
−a （
−a，+∞）
f′（x） + 0 ─ 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗因为y=f（x）与y=3只有一个公共点，所以f（x）极大值＜3或f（x）极小值＞3．
所以f(−
−a)＜3，或f(
−a)＞3，得−
34
＜a＜0．
综上，a＞-1，y=f（x）与y=3只有一个公共点．
（2）ϕ(x)＝|
f(x)+1
x2|＝|
x3+3ax−1+1
x2|＝|x+
3a
x|．
由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）为偶函数，则原题即为∅（x）在（0，2]上有最小值2．
设g(x)＝x+
3a
x（x∈（0，2]），则g′(x)＝1−
3a
x2＝
x2−3a
x2．
①a＜0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，2]上单调增，所以g(x)∈(−∞，2+
3a
2]．
因为∅（x）在（0，2]上有最小值2，所以2+
3a
2＝−2，所以a＝−
8
3．
②a=0时，∅（x）=x，无最小值，不合题意．
③a＞0时，∅（x）=g（x），g′(x)＝
x2−3a
x2＝
(x+
3a)(x−
3a)
x2．
（I）
3a≥2，即a≥
4
3时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，2]上单调减，所以g(x)∈[2+
3a
2，+∞)，
此时∅（x）在（0，2]上的最小值为2+
3a
2≠2，不合．
（II）
3a＜2，即0＜a＜
4
3时，由g'（x）=0，得x＝
3a．
在x∈（0，2]上列表：
x （0，
3a）
3a （
3a，2） 2
g′（x） ─ 0 +
g（x） ↘ 极小值 ↗ 2+[3a/2]∴φ(x)min＝g(x)min＝g(
3a)＝2
3a＝2，所以a＝
1
3．
综上，a的值为−
8
3或
1
3．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．