已知函数f(x)=x2+2x,(Ⅰ)若x∈[-2,a],求f(x)的值域;(Ⅱ)若存在实数t,当x∈[1,m],f(x+

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  • 解题思路:(Ⅰ)由f(x)的图象与性质,讨论a的取值,从而确定f(x)在[-2,a]上的增减性,求出f(x)的值域.

    (Ⅱ)把f(x+t)≤3x转化为(x+t)2+2(x+t)≤3x,即u(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,在x∈[1,m]恒小于0问题,考查u(x)的图象与性质,求出m的取值范围.

    (Ⅰ)∵f(x)=x2+2x的图象是抛物线,开口向上,对称轴是x=-1,

    ∴当-2<a≤-1时,f(x)在[-2,a]上是减函数,

    f(x)max=f(−2)=0,f(x)min=f(a)=a2+2a,

    ∴此时f(x)的值域为:[a2+2a,0];

    当-1<a≤0时,f(x)在[-2,a]上先减后增,

    f(x)max=f(-2)=0,f(x)min=f(-1)=-1,

    ∴此时f(x)的值域为:[-1,0];

    当a>0时,f(x)在[-2,a]上先减后增,

    f(x)max=f(a)=a2+2a,f(x)min=f(−1)=−1,

    ∴此时f(x)的值域为:[-1,a2+2a].

    (Ⅱ)若存在实数t,当x∈[1,m],f(x+t)≤3x恒成立,

    即(x+t)2+2(x+t)≤3x,

    ∴x2+(2t-1)x+t2+2t≤0;

    设u(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,其中x∈[1,m]

    ∵u(x)的图象是抛物线,开口向上,

    ∴u(x)max=max{u(1),u(m)};

    由u(x)≤0恒成立知

    u(1)≤0

    u(m)≤0;

    化简得

    −4≤t≤0

    t2+2(1+m)t+m2−m≤0; v

    令g(t)=t2+2(1+m)t+m2-m,

    则原题转化为存在t∈[-4,0],使得g(t)≤0;

    即当t∈[-4,0]时,g(t)min≤0;

    ∵m>1时,g(t)的对称轴是t=-1-m<-2,

    ①当-1-m<-4,即m>3时,g(t)min=g(-4),

    m>3

    16−8(m+1)+m2−m≤0,

    解得3<m≤8;

    ②当-4≤-1-m<-2

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数恒成立问题.

    考点点评: 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用,解题时应讨论对称轴在区间内?在区间左侧?区间右侧?从而确定函数的最值.