解题思路:(Ⅰ)由f(x)的图象与性质,讨论a的取值,从而确定f(x)在[-2,a]上的增减性,求出f(x)的值域.
(Ⅱ)把f(x+t)≤3x转化为(x+t)2+2(x+t)≤3x,即u(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,在x∈[1,m]恒小于0问题,考查u(x)的图象与性质,求出m的取值范围.
(Ⅰ)∵f(x)=x2+2x的图象是抛物线,开口向上,对称轴是x=-1,
∴当-2<a≤-1时,f(x)在[-2,a]上是减函数,
f(x)max=f(−2)=0,f(x)min=f(a)=a2+2a,
∴此时f(x)的值域为:[a2+2a,0];
当-1<a≤0时,f(x)在[-2,a]上先减后增,
f(x)max=f(-2)=0,f(x)min=f(-1)=-1,
∴此时f(x)的值域为:[-1,0];
当a>0时,f(x)在[-2,a]上先减后增,
f(x)max=f(a)=a2+2a,f(x)min=f(−1)=−1,
∴此时f(x)的值域为:[-1,a2+2a].
(Ⅱ)若存在实数t,当x∈[1,m],f(x+t)≤3x恒成立,
即(x+t)2+2(x+t)≤3x,
∴x2+(2t-1)x+t2+2t≤0;
设u(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,其中x∈[1,m]
∵u(x)的图象是抛物线,开口向上,
∴u(x)max=max{u(1),u(m)};
由u(x)≤0恒成立知
u(1)≤0
u(m)≤0;
化简得
−4≤t≤0
t2+2(1+m)t+m2−m≤0; v
令g(t)=t2+2(1+m)t+m2-m,
则原题转化为存在t∈[-4,0],使得g(t)≤0;
即当t∈[-4,0]时,g(t)min≤0;
∵m>1时,g(t)的对称轴是t=-1-m<-2,
①当-1-m<-4,即m>3时,g(t)min=g(-4),
∴
m>3
16−8(m+1)+m2−m≤0,
解得3<m≤8;
②当-4≤-1-m<-2
点评:
本题考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用,解题时应讨论对称轴在区间内?在区间左侧?区间右侧?从而确定函数的最值.