Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，过C点作CD⊥AB，垂足为D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关

Answer 1

解题思路：根据△ABC∽△ACD，求出m和n之间的关系式；再根据根与系数的关系求出m、n的取值范围，然后估算，即可求得一次函数的解析式．

易证△ABC∽△ACD，∴[AC/AD]=[AB/AC]，AC²=AD•AB，同理BC²=BD•AB，

∵

AC2

BC2=[2/1]，∴[m/n]=[2/1]，∴m=2n…①，

∵关于x的方程[1/4]x²-2（n-1）x+m²-12=0有两实数根，

∴△=[-2（n-1）]²-4×[1/4]×（m²-12）≥0，

∴4n²-m²-8n+16≥0，把①代入上式得n≤2…②，

设关于x的方程[1/4]x²-2（n-1）x+m²-12=0的两个实数根分别为x₁，x₂，

则x₁+x₂=8（n-1），x₁•x₂=4（m²-2），

依题意有（x₁-x₂）²＜192，即[8（n-1）]²-16（m²-12）＜192，

∴4n²-m²-8n+4＜0，把①式代入上式得n＞[1/2]…③，由②、③得[1/2]＜n≤2，

∵m、n为整数，∴n的整数值为1，2，

当n=1，m=2时，所求解析式为y=2x+1，当n=2，m=4时，解析式为y=4x+2．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式．

考点点评： 此题结合了相似三角形和根的判别式，还要对整数值进行估算，难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的能力．