解题思路：考虑两种情况：（1）斜率不存在即所求直线与y轴平行时，容易直线的方程；（2）斜率存在时，设出直线的斜截式，然后利用点到直线的距离公式列出原点到直线l的距离的方程，求出斜率k即可得到方程．
（1）当过点A（1，2）的直线与x轴垂直时，
则点A（1，2）到原点的距离为1，所以x=1为所求直线方程．
（2）当过点A（1，2）且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y-2=k（x-1），
即：kx-y-k+2=0，由题意有
|-k+2|
k2+1=1，解得k=
3
4，
故所求的直线方程为y-2=
3
4(x-1)，即3x-4y+5=0．
综上，所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0．
点评：
本题考点： 点到直线的距离公式．
考点点评： 此题为中档题，学生做题时容易少一种斜率不存在的情况，要求学生考虑问题要全面．应用分类讨论的数学思想解决数学问题．