Question

线性代数：求出以下方阵的特征值,并问能否相似于对角矩阵?若能,则求出其相似标准形.

Answer 1

首先A的特征多项式为f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),所以A的特征值为1,2,3.

对于特征值1,解线性方程组(1E-A)X=0,得到其基础解系为a1=(1,1,1)^T

对于特征值2,解线性方程组(2E-A)X=0,得到其基础解系为a1=(2,3,9)^T

对于特征值3,解线性方程组(3E-A)X=0,得到其基础解系为a1=(1,3,-4)^T

以a1,a2,a3为列,构造矩阵3行3列矩阵P=(a1,a2,a3),从而P^{-1}AP=diag(1,2,3).