Question

若函数f（x）=logax（其中a＞0且a≠1）在x∈[2，+∞）上总有|f（x）|＞1成立，求a的取值范围．

Answer 1

解题思路：由在x∈[2，+∞）上总有|f（x）|＞1⇔|log_ax|＞1，要去掉绝对值，需要考虑a的范围分类讨论（1）若a＞1，x≥2时，log_ax＞0，即log_ax＞1恒成立．

（2）若0＜a＜1，x≥2时log_ax＜0，．即log_ax＜-1恒成立，从而可求a的范围

（1）若a＞1，x≥2时，log_ax＞0，

由|f（x）|＞1得f（x）＞1，即log_ax＞1恒成立．

∴x＞a恒成立，∴1＜a＜2．

（2）若0＜a＜1，x≥2时log_ax＜0，

由|f（x）|＞1得f（x）＜-1．即log_ax＜-1恒成立，也即x＞[1/a]恒成立，

∴[1/a]＜2．∴[1/2]＜a＜1，

综上，a的取值范围为（[1/2]，1）∪（1，2）．

点评：

本题考点： 对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题主要考查了利用对数函数 的单调性解不等式，解题中要体会分类讨论思想的应用，属于中档试题