已知数列{a n }的首项a 1 =b（b≠0）， - 知识问答

已知数列{a n }的首项a 1 =b（b≠0），它的前n项的和S n =a 1 +a 2 +…+a n （n≥1），并

1个回答

（1）证明：由已知条件得S₁=a₁=b．
S_n=S₁p^n-1=bp^n-1（n≥1）
因为当n≥2时，S_n=a₁+a₂++a_n-1+a_n=S_n-1+a_n，所以
a_n=S_n-S_n-1=bp^n-2（p-1）（n≥2）
从而
a n+1
a n =
b p n-1 (p-1)
b p n-2 (p-1) =p(n≥2) ，
因此a₂，a₃，a₃，a_n，是一个公比为p的等比数列
（2）当n≥2时，
a n+1 S n+1
a n S n =
b p n-1 (p-1)b p n
b p n-2 (p-1)b p n-1 = p 2 ，
且由已知条件可知p²＜1，
因此数列a₁S₁，a₂S₂，a₃S₃，a_nS_n是公比为p²＜1的无穷等比数列，于是
lim
n→∞ ( a 2 S 2 + a 3 S 3 ++ a n S n )=
a 2 S 2
1- p 2 =
b 2 (p-1)p
1- p 2 =-
b 2 p
1+p ．
从而
lim
n→∞ W n =
lim
n→∞ ( a 1 S 1 + a 2 S 2 + a 3 S 3 ++ a n S n )
=
lim
n→∞ a 1 S 1 +
lim
n→∞ ( a 2 S 2 + a 3 S 3 ++ a n S n )
= b 2 -
b 2 p
1+p =
b 2
1+p ．

相关问题