Question

如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，CF平分∠DCE，交AD于F，则AF的长为______．

Answer 1

解题思路：找出正方形面积等于正方形内所有三角形面积的和求这个等量关系，列出方程求解，求得DF，根据AF=a-DF即可求得AF．

作FH⊥CE，连接EF，

∵∠FHC=∠D=90°，∠HCF=∠DCF，CF=CF

∴△CHF≌△CDF，

又∵S_{正方形ABCD}=S_△CBE+S_△CDF+S_△AEF+S_△CEF，

设DF=x，则a²=[1/2]×[1/2]a×a+[1/2]×x×a+[1/2]×[1/2]a×（a-x）+[1/2]CE•FH

∵FH=DF，CE=

BC2+BE2，

∴整理上式得：2a-x=

5x，

计算得：x=

5−1

2a．

AF=a-x=

3−

5

2a．

故答案为

3−

5

2a．

点评：

本题考点： 正方形的性质；勾股定理．

考点点评： 本题考查了转换思想，考查了全等三角形的证明，求AF，转化为求DF是解题的关键．