Question

数列an,a1=1,a2=2,An+2=(An+An+1)/2,n为正整数,（1）令Bn=An+1-An,求证Bn为等比

Answer 1

a2+(a1)/2=2.5

A(n+2)=(An+A(n+1))/2

a(n+2)+[a(n+1)]/2=a(n+1)+(an)/2

所以数列{a(n+1)+(an)/2}是首项为2.5,公比为1的等比数列

故a(n+1)+(an)/2=2.5

a(n+1)=2.5-(an)/2=2.5-[2.5-(a(n-1))/2]=(a(n-1))/2

an=2.5-(a(n-1))/2=2.5-[2.5-(a(n-2))/2]=(a(n-2))/2

（其实an就是周期数列）

n为奇数时,an=1

n为偶数时,an=2

即an=3/2+[(-1)^n]*(1/2)

bn=an-a(n-1)=[(-1)^n]*(1/2)-[(-1)^(n-1)]*(1/2)= - (-1)^(n-1)

故b(n+1)/bn= [- (-1)^n]/ [- (-1)^(n-1)]=-1

故bn为等比数列

an=3/2+[(-1)^n]*(1/2)