Question

直线y=kx与圆x2+y2-6x-4y+10=0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程．

Answer 1

解题思路：法一为参数法，适当引入参数，设出中点坐标，通过联立方程组，利用韦达定理，再消去参数得所求轨迹；

法二为“差分法”，设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入圆的方程，作差，利用中点公式，结合直线的斜率，消去参数求中点轨迹方程．

法一：由

x2+y2−6x−4y+10＝0

y＝kx

消去y，得（1+k²）x²-（6+4k）x+10=0．

设此方程的两根为x₁、x₂，AB的中点坐标为P（x，y），

则由韦达定理和中点坐标公式，得x=

x1+x2

2=[6+4k

2(1+k2)=

3+2k

1+k2．①

又点P在直线y=kx上，

∴y=kx．

∴k=

y/x]．②

将②代入①，得x=

3+2×

y

x

1+(

y

x)2（x≠0），整理得x²+y²-3x-2y=0．

故轨迹是圆x²+y²-3x-2y=0位于已知圆内的部分．

解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x₁²+y₁²-6x₁-4y₁+10=0，①

x₂²+y₂²-6x₂-4y₂+10=0，②

①-②，得（x₁²-x₂²）+（y₁²-y₂²）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0．

设AB的中点为（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．

代入上式，有2x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）-6（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，

即（2x-6）（x₁-x₂）+（2y-4）（y₁-y₂）=0．

∴[x−3/y−2]=-

y1−y2

x1−x2=-k．③

又∵y=kx，④

由③④得x²+y²-3x-2y=0．

故所求轨迹为已知圆内的一段弧．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系；轨迹方程．

考点点评： 本题考查与圆有关的轨迹问题．法一为参数法，适当引入参数，再消去参数得所求轨迹；法二为“差分法”，是求中点轨迹的一种常用方法．