分析：（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时,PA⊥y轴,PK⊥x轴,x轴⊥y轴,且PA=PK,可判断结论；
（2）①连接PB,设点P（x,）,过点P作PG⊥BC于G,则半径PB=PC,由菱形的性质得PC=BC,可知△PBC为等边三角形,在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG= ,利用sin∠PBG= ,列方程求x即可；
②求直线PB的解析式,利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立,列方程组求满足条件的M点坐标即可．
（1）四边形OKPA是正方形．
证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切,
∴PA⊥OA,PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°,
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵OA=OK,
∴四边形OKPA是正方形．（2分）
（2）①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为 ．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形,
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG= ．
sin∠PBG= ,即 ．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG= ,PA=BC=2．（4分）
易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG﹣BG=1,OC=OG+GC=3．
∴A（0,）,B（1,0）C（3,0）．（6分）
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：
解之得：a= ,b= ,c= ．
∴二次函数关系式为：．（9分）
②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v,据题意得：
解之得：u= ,v= ．
∴直线BP的解析式为：．
过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为：．
解方程组：
得：； ．
过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为：．
∴0= ．
∴ ．
∴直线CM的解析式为：．
解方程组：
得：； ．
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为：（0,）,（3,0）,（4,）,（7,）．（12分）
解法二：∵ ,
∴A（0,）,C（3,0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA．
又∵AM∥BC,
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4,）符合要求．
点（7,）的求法同解法一．
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为：（0,）,（3,0）,（4,）,（7,）．（12分）
解法三：延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA．
又∵AM∥BC,
∴ ．
∴点M的纵坐标为 ．
即 ．
解得：x1=0（舍）,x2=4．
∴点M的坐标为（4,）．
点（7,）的求法同解法一．
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为：（0,）,（3,0）,（4,）,（7,）．（12分）