Question

设等比数列{an}满足公比q∈N*，an∈N*，且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有

Answer 1

解题思路：依题意可求得该等比数列的通项公式a_n，设该数列中的任意两项为a_m，a_t，它们的积为a_p，求得q=

2

81

p−m−t+1

，分析即可．

由题意，a_n=2⁸¹q^n-1，设该数列中的任意两项为a_m，a_t，它们的积为a_p，

则为a_m•a_t=a_p，即2⁸¹q^m-1•2⁸¹q^t-1=2⁸¹•q^p-1，（q，m，t，p∈N^*），

∴q=2

81

p−m−t+1，

故p-m-t+1必是81的正约数，

即p-m-t+1的可能取值为1，3，9，27，81，

即[81/p−m−t+1]的可能取值为1，3，9，27，81，

所以q的所有可能取值的集合为{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}

点评：

本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式，依题意求得q=281p−m−t+1是难点，分析得到p-m-t+1必是81的正约数是关键，考查分析与运算能力，属于难题．