Question

已知关于x的方程14x2−(m−2)x+m2＝0是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，求出满足条

Answer 1

解题思路：利用根与系数的关系，化简x₁²+x₂²=224，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=224．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．

假设存在，则有x₁²+x₂²=224．

∵x₁+x₂=4m-8，

x₁x₂=4m²，

∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=224．

即（4m-8）²-2×4m²=224，

∴m²-8m-20=0，

（m-10）（m+2）=0，

∴m₁=10，m₂=-2．

∵△=（m-2）²-m²=4-4m≥0，

∴0＜m≤1，

∴m₁=10，m₂=-2都不符合题意，

故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系，也考查了存在性问题的解题方法和格式．