Question

设函数f(x)＝x2ex−1−13x3−x2(x∈R)．

Answer 1

解题思路：（1）先求导数fˊ（x），令fˊ（x）=0，求出方程的根，将定义域分成几个区间，然后判定导数符号，根据导数的符号确定函数的单调区间；

（2）根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1）

令f'（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1

函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）

（2）当x∈[-1，2]时，f（-1）=[1

e2−

2/3＜0，f(2)＝4(e−

5

3)＞0

f（x）_极小=f（1）=−

1

3＞f(−1)，

所以f（x）在[-1，2]上的最小值为

1

e2−

2

3]．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于基础题．