Question

已知x y z 是互不相等的正数且,x+y+z=1求正（1/x--1)(1/Y-1)(1/Z-1）>8

Answer 1

因为1/x-1=(x+y+z)/x-1=(y+z)/x

同理1/y-1=(x+z)/y,1/z-1=(x+y)/z

所以(1/x-1)(1/y-1)(1/z-1)

=(y+z)(x+z)(x+y)/(xyz),

因为x,y,z是正数,

所以y+z>=2根号(yz),

x+z>=2根号(xz),

x+y>=2根号(xy),

所以(y+z)(x+z)(x+y)>=8*xyz,

所以(y+z)(x+z)(x+y)/(xyz)>=8,

而x,y,z互不相等,

所以等号不成立,

所以（1/x-1)(1/Y-1)(1/Z-1）>8.