Question

已知实数a,b,c,满足a>b>c. 1)求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 2)试将上述不等式加以

Answer 1

一个一个来

1）这个比较简单,注意到(a-b)+(b-c)=a-c

令a-b=x b-c=y

那么x>0 ,b>0

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 变为 1/x+1/y>1/(x+y)

也即(x+y)/xy>1/(x+y)

即(x+y)^2>xy 此为x^2+xy+y^2>0 显然成立

2）即1/x+1/y>p/(x+y)

用柯西不等式有(x+y)(1/x+1/y)>=4

于是必须要4>p 那么p可以取2或3 该不等式都成立

3）应该是m/(a-b)+n/(b-c)+p/(c-a)>0

那么即m/x+n/y>p/(x+y)

也即(x+y)(m/x+n/y)>=p+1

由柯西不等式：(x+y)(m/x+n/y)>=(√m+√n)^2

于是必须要(√m+√n)^2>=p+1