Question

已知函数f(x)＝2−1x，a1＝32，an+1=f（an）（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）由已知可得数列{a_n}的递推公式为，a_n+1=f（a_n）=2-

1

a

n

，分别令n=2，3，4依次计算求解即可．

（2）假设存在m∈N^*，使得a₁，a_m，

1

a

m

成等差数列，根据等差数列的定义，a₁+

1

a

m

=2a_m，通过此关于m的方程解的有误进行判断与证明．

（1）由已知可得数列{a_n}的递推公式为，a_n+1=f（a_n）=2-

1

an

求得a2＝

4/3，a3＝

5

4，a4＝

6

5]

猜想an＝

n+2

n+1(n∈N*)

（2）假设存在m∈N^*，使得a₁，a_m，[1

am成等差数列，则a₁+

1

am=2a_m，

即

3/2+

m+1

m+2＝2×

m+2

m+1]，即[5m+8

2(m+2)＝

2(m+2)/m+1]

所以m²-3m-8=0，该方程没有正整数解，所以假设不成立，

所以对任意n∈N^*，a₁，a_n，

1

an不可能成等差数列．

点评：

本题考点： 数列递推式；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查数列递推公式，通项公式的基本知识和计算技能，考查了反证法．属于基础题．