Question

已知复数z=(m2−m−2)+(m2+m)i1+i（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数．

Answer 1

解题思路：（1）利用复数的运算法则把z化为（m2-1）+（m+1）i，再利用纯虚数的定义即可得出m．（2）利用复数模的计算公式即可得出a2+（b-2）2=1，进而由a2=1-（b-2）2≥0求出b的取值范围，即可得出|w|的最大值．

（1）∵复数z=

(m2−m−2)+(m2+m)i

1+i

=

[(m2−m−2)+(m2+m)i](1−i)

(1+i)(1−i)

=

2m2−2+(2m+2)i

2

=（m²-1）+（m+1）i是纯虚数．

∴

m2−1＝0

m+1≠0，解得m=1．

∴m的值是1．

（2）由（1）可知：z=2i．设w=a+bi（a，b∈R）．

∵|w-2i|=1，∴

a2+(b−2)2＝1，∴a²+（b-2）²=1，（*）

∴|w|=

a2+b2=

1−(b−2)2+b2=

4b−3．

由（*）可知：（b-2）²≤1，1≤b≤3.

4b−3≤

9＝3．

∴|w|的最大值为3．

点评：

本题考点： 复数求模；复数的基本概念．

考点点评： 熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义、复数模的计算公式、圆的标准方程等是解题的关键．