Question

对于任意正整数n，猜想2n-1与（n+1）2的大小关系，并给出证明．

Answer 1

解题思路：对n=1，2，3，4，…取值验证或借助于函数y=2^x与y=x²的图象，找出最小的正整数m等于6，再按照数学归纳法的步骤进行证明．

当n=1时2^1-1＜（1+1）² ，

当n=2时，2^2-1=2＜（2+1）² ，

当n=3时，2^3-1=4＜（3+1）² ，

当n=4时2^4-1＜（4+1）² ，

当n=5时2^5-1＜（5+1）² ，

当n=6时 2^6-1＜（6+1）²，

当n=7时 2^7-1=（7+1）²…（2分）

n=8，9，10，…时，2^n-1＞（n+1）²，

猜想n≥8时，2^n-1＞（n+1）²． …（4分）

证明：①当n=8时，由以上知结论成立；

②假设当n=k（k＞8）时，2^k-1＞（k+1）²，

则n=k+1时，2^（k+1）-1=2^1+（k+1）=2•2^k-1＞2（k+1）²．而2（k+1）²-（k+2）²=k²-2，∵k≥9∴k²-2＞0，

所以2（k+1）²-（k+2）²＞0，

即2（k+1）²＞（k+2）²，即2^（k+1）-1＞（k+2）²，即n=k+1时，结论成立，

由①，②知，对任意n≥8，结论成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查猜想、证明的推理方法，考查数学归纳法证明命题．注意证明的步骤的应用．