解题思路：首先将函数化简（1）根据函数是奇函数求出a的值，然后有正弦函数求出值域；
（2）写出函数f （wx）的式子，然后根据正弦函数的单调性求出x的范围，进而根据区间[-[π/2]，[2π/3]]的增函数，求出w的取值范围；
（3）首先求出4+f （x+θ）f （x-θ）并化简和求出最小值[3/4]，再利用sin2θ＜[3/4]，求出结果．
化简得f（x）=2sinx+a+3
（1）f（-x）=-f（x）⇒a=-3∴f（x）=2sinx
f（x）∈[-2，2]（4分）
（2）f（wx）=2sinwx（w＞0）
-[π/2]+2kπ≤wx≤2kπ+[π/2]k∈Z
-[π/2w]+[2kπ/w]≤x≤[kπ/w]+[π/2w]
−
π
2w≤−
π
2
2
3π≤
π
2w⇒0＜w≤[3/4]
综上以上，0＜w≤[3/4]（8分）
（3）|θ|＜[π/2]，x∈R时
4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx
即sin2x-sinx+1＞sin2θ恒成立
（sin2x-sinx+1）min=[3/4]
∴sin2θ＜[3/4]
-
3
2＜sinθ＜
3
2
点评：
本题考点： 正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性．
考点点评： 本题考查了正弦函数的单调性和奇偶性以及不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题转化成求函数最值问题即可．属于中档题．