已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,函数取极值1.

2个回答

  • 解题思路:(1)因为函数是奇函数则f(-x)=-f(x)解出b的值又因为x=-1时,函数取极值1即f′(1)=0且f(1)=-1解出a、c即可;(2)利用导数得到函数为减函数f(1)≤f(x)≤f(-1)得到|f(x)|≤1,所以,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤1+1=2得证;(3)是证明题,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵

    f′(x)=

    3

    2

    x

    2

    3

    2

    ,过A,B两点的切线平行,∴f′(x1)=f(x2),可得x12=x22∵x1≠x2,∴x1=-x2,由于过A点的切线垂直于直线AB,证出3x14-12x12+13=0无解.所以曲线上不存在两个不同的点A,B,过A,B两点的切线都垂直于直线AB.

    (1)函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,

    ∴f(-x)=-f(x),即bx2=0对于x∈R恒成立,

    ∴b=0

    ∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c

    ∵x=-1时,函数取极值1,

    ∴3a+c=0,-a-c=1

    解得:a=

    1

    2,c=−

    3

    2

    (2)f(x)=

    1

    2x3−

    3

    2x,f′(x)=

    3

    2x2−

    3

    2=

    3

    2(x−1)(x+1),

    x∈(-1,1)时f′(x)<0,∴f(x)在x∈[-1,1]上是减函数,

    即f(1)≤f(x)≤f(-1),则|f(x)|≤1,

    当x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤1+1=2

    (3)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),

    ∵f′(x)=

    3

    2x2−

    3

    2,过A,B两点的切线平行,

    ∴f′(x1)=f′(x2),可得x12=x22

    ∵x1≠x2

    ∴x1=-x2,则y1=−y2,kAB=

    y2−y1

    x2−x1=

    y1

    x1=

    1

    2x12−

    3

    2,

    由于过A点的切线垂直于直线AB,

    ∴(

    3

    2x12−

    3

    2)(

    1

    2x12−

    3

    2)=−1,

    ∴3x14-12x12+13=0,

    ∵△=-12<0

    ∴关于x1的方程无解.

    ∴曲线上不存在两个不同的点A,B,过A,B两点的切线都垂直于直线AB.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;不等式的证明.

    考点点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,以及证明不等式的方法.