解题思路:(1)因为函数是奇函数则f(-x)=-f(x)解出b的值又因为x=-1时,函数取极值1即f′(1)=0且f(1)=-1解出a、c即可;(2)利用导数得到函数为减函数f(1)≤f(x)≤f(-1)得到|f(x)|≤1,所以,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤1+1=2得证;(3)是证明题,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵
f′(x)=
3
2
x
2
−
3
2
,过A,B两点的切线平行,∴f′(x1)=f(x2),可得x12=x22∵x1≠x2,∴x1=-x2,由于过A点的切线垂直于直线AB,证出3x14-12x12+13=0无解.所以曲线上不存在两个不同的点A,B,过A,B两点的切线都垂直于直线AB.
(1)函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即bx2=0对于x∈R恒成立,
∴b=0
∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c
∵x=-1时,函数取极值1,
∴3a+c=0,-a-c=1
解得:a=
1
2,c=−
3
2
(2)f(x)=
1
2x3−
3
2x,f′(x)=
3
2x2−
3
2=
3
2(x−1)(x+1),
x∈(-1,1)时f′(x)<0,∴f(x)在x∈[-1,1]上是减函数,
即f(1)≤f(x)≤f(-1),则|f(x)|≤1,
当x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤1+1=2
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
∵f′(x)=
3
2x2−
3
2,过A,B两点的切线平行,
∴f′(x1)=f′(x2),可得x12=x22
∵x1≠x2,
∴x1=-x2,则y1=−y2,kAB=
y2−y1
x2−x1=
y1
x1=
1
2x12−
3
2,
由于过A点的切线垂直于直线AB,
∴(
3
2x12−
3
2)(
1
2x12−
3
2)=−1,
∴3x14-12x12+13=0,
∵△=-12<0
∴关于x1的方程无解.
∴曲线上不存在两个不同的点A,B,过A,B两点的切线都垂直于直线AB.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;不等式的证明.
考点点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,以及证明不等式的方法.