这里介绍一种较为简便的初等数学证法.
证明：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.蝴蝶定理∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵AS=1/2AD,BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O,S,X,M四点共圆
同理,O,T,Y,M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ,
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
[1]其它证明方法：（注：²是平方的意思） 修改上图令 x = XM ,a = PM
则 AX · XD = PX · XQ = a² - x²
在 ΔDXM 中,由正弦定理：
DX = x·sin(α)/sin(180° - (α + β + γ)) = x·sin(α)/sin(α + β + γ).
在 ΔAXM 中：AX = x·sin(β)/sin(γ)
所以有
AX · DX = x²·sin(α)·sin(β)/sin(γ)·sin(α + β + γ) = a² - x²
∴ x² = a²·sin(γ)·sin(α + β + γ))/(sin(α)·sin(β) + sin(γ)·sin(α + β + γ))
在上面的式子中,α 和 β 是对称的.如果我们令 y = MY,会得到同样的结果
∴ x = y,得证
这个定理在椭圆中也成立,如图
1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b>r>0）.
（Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率
（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4>0）.
求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.
求证：| OP | = | OQ |.
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）