Question

已知圆(x+1)^2+y^2=8的圆心F,设点A为圆上任意一点,N(1,0),线段AN的垂直平分线交FA与点P

Answer 1

(1)由已知得F(-1,0),A为圆F上任意一点,AF=2√2

P为线段AN的垂直平分线上的点,所以PN=PA,

又P在线段AF上,所以PF+PN=PF+PA=AF=2√2,

所以点P的轨迹C是以定点F、N为焦点的椭圆,其方程是x²/2+y²=1.

(2)设直线AB的方程为x=ky-1 (k≠0),代入椭圆方程得(ky-1)²/2+y²=1,

整理得(k²+2)y²-2ky-1=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2k/(k²+2),y1*y2=-1/(k²+2)

所以x1+x2=k(y1+y2)-2=2k²/(k²+2)-2=-4/(k²+2)

故线段AB的中点是(-2/(k²+2),k/(k²+2))

所以线段AB的垂直平分线方程是x=(-1/k)[y-k/(k²+2)]-2/(k²+2),

令y=0,得x=-1/(k²+2),因为-1/2