Question

数学参数方程 求轨迹方程已知曲线（θ为参数）和定点（4,1）,过点P的直线和曲线交于AB两点,若线段AB上存在点Q,使得

Answer 1

曲线方程:x²/8+y²/4=1

即x²+2y²=8

设PA的参数方程为

x=4+tcosA

y=1+tsinA

设A,B,Q对应的参数t分别为t1,t2,t0

则t1/t2=(t1-t0)/(t0-t2)

所以,t0=2t1*t2/(t1+t2) (1)

将直线方程与椭圆方程联立

得(4+tcosA)²+2(1+tsinA)²=8

(cos²A+2sin²A)t²+(4sinA+8cosA)t+10=0

利用根系关系,代入（1）

得t0=-20/(4sinA+8cosA)

t0=-5/(sinA+2cosA)

设Q的坐标为（x,y)

x=4+t0*cosA=(4sinA+3cosA)/(sinA+2cosA)

y=1+t0*sinA=(2cosA-4sinA)/(sinA+2cosA)

所以 x=4-5cosA/(sinA+2cosA)

y=-4+10cosA/(sinA+2cosA)

所以 2(x-4)+(y+4)=0

即 2x+y-4=0(在椭圆内的部分)