Question

如图，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=AC=AA 1 =2，∠ABC=45°．

Answer 1

（1）∵AB=AC=2，∠ABC=45°，∴∠BAC=90°．

∴ V A 1 -ABC =

1

3 ×

1

2 × 2 2 ×2 =

4

3 ．

在直三棱柱ABC-A ₁B ₁C ₁中，∴A ₁A⊥AB，A ₁A⊥AC．

∴ A 1 A= A 1 C=AC=2

2 ．∴ S △ A 1 BC =

3

4 ×(2

2 ) 2 = 2

3 ．

设点A到平面距离为h，由

1

3 h• S △ A 1 BC = V A 1 -ABC =

4

3 ，∴

1

3 h×2

3 =

4

3 ，解得 h=

2

3

3 ．

∴点A到平面距离为

2

3

3 ．

（2）设A ₁C的中点为M，连接BM，AM．

∵BA ₁=BC，AA ₁=AC，∴BM⊥A ₁C，AM⊥A ₁C．

∴∠AMB是二面角A-A ₁C-B的平面角．

∵ tan∠AMB=

2 ，∴ ∠AMB=arctan

2 ．

∴二面角A-A ₁C-B的大小为 arctan

2 ．