Question

已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为 1 2 ，点P是椭圆上异于顶点的

Answer 1

（1）∵2a=4，

c

a =

1

2 ，∴a=2，c=1，b=

3 ．

∴椭圆的方程为

x 2

4 +

y 2

3 =1．

（2）设点P（x ₀，y ₀）（x ₀≠0，y ₀≠0），

直线l的方程为y-y ₀=k（x-x ₀），代入

x 2

4 +

y 2

3 =1，

整理，得（3+4k ²）x ²+8k（y ₀-kx ₀）x+4（y ₀-kx ₀） ²-12=0．

∵x=x ₀是方程的两个相等实根，

∴2x ₀=-

8k( y 0 -k x 0 )

3+4 k 2 ，解得k=-

3 x 0

4 y 0 ．

∴直线l的方程为y-y ₀=-

3 x 0

4 y 0 （x-x ₀）．

令x=0，得点A的坐标为（0，

4 y 2 0 +3 x 2 0

4 y 0 ）．

又∵

x 0 2

4 +

y 0 2

3 =1，∴4y+3x0=12．

∴点A的坐标为（0，

3

y 0 ）．

又直线l′的方程为y-y ₀=

4 y 0

3 x 0 （x-x ₀），

令x=0，得点B的坐标为（0，-

y 0

3 ）．

∴以AB为直径的圆的方程为x•x+（y-

3

y 0 ）•（y+

y 0

3 ）=0．整理，得x ²+y ²+（

y 0

3 -

3

y 0 ）y-1=0．

令y=0，得x=±1，

∴以AB为直径的圆恒过定点（1，0）和（-1，0）．