解题思路：用排除法．
当a=0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除B，D；
当a＞0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除A，进而得到答案．
当a=0时，函数f（x）=ax3+x+1=x+1是单调增函数无极值，故排除B，D
当a＞0时，函数f（x）=ax3+x+1是单调增函数无极值，故排除A，
故选C．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查函数极值的充要条件．做选择题时要选择最快的方法是很关键的问题，因为选择题都给一定的选项，所以排除法对做选择来说是一个很重要的方法．