Question

三角形ABC中,AB=AC=5,M为BC上任一点,求AM的平方+BM乘CM的值（三角形为钝角三角形）

Answer 1

证：过A作直线AE⊥BC交BC于E点,设M点在B、E两点之间,已知AB=AC=5,则BE=CE=（MB+MC）/2,

ME=BE-MB=（MB+MC）/2-MB=（MC-MB）/2

在直角△ACE和直角△AEP中,根据勾股定理,得下方程组：

AE^2 +CE^2 =AE^2 +（MB+MC）^2 /4=AC^2=25 .(1)

AE^2 +ME^2 =AE^2 +（MC-MB）^2/4=AM^2 .(2)

(1)-(2)得

（MB+MC）^2 /4-（MC-MB）^2/4=25-AM^2

MB*MC=25-AM^2

故AM^2+MB*MC=25

即AM平方+MB*MC=25